前缀和与差分 - 久染的小世界呀

一. 前缀和

1. 前缀和算法思维

前缀和思维：

S0 = 0, S1 = a1, S2 = a1 + a2;

如果我们要将一个区间[l , r]的数的和, 使用前缀和可以将 O(n)的复杂度转换为 O(1)

因为如果我们知道了a[]数组的前缀和，我们可以通过S[r] - S[l]来求指定区间的和

2. 前缀和题目

求指定区间数的和

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n, 1≤n,m≤100000, −1000≤ 数列中元素的值 ≤1000

输入样例：

5 3

2 1 3 6 4

1 2

1 3

2 4

输出样例：

代码演示

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], s[N];

int main () {
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d",&a[i]);

    for (int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + a[i];

    while (m -- ) {
        int l , r;
        cin >> l >> r;

        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }
}

子矩阵的和

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000,

1≤q≤200000,

1≤x1≤x2≤n,

1≤y1≤y2≤m,

−1000≤ 矩阵内元素的值 ≤1000

输入样例：

3 4 3

1 7 2 4

3 6 2 8

2 1 2 3

1 1 2 2

2 1 3 4

1 3 3 4

输出样例：

解法

S[i,j]S[i,j]即为图 1 红框中所有数的的和为：

S[i,j]=S[i,j−1]+S[i−1,j]−S[i−1,j−1]+a[i,j]S[i,j]=S[i,j−1]+S[i−1,j]−S[i−1,j−1]+a[i,j] (x1,y1),(x2,y2)(x1,y1),(x2,y2)这一子矩阵中的所有数之和为：S[x2,y2]−S[x1−1,y2]−S[x2,y1−1]+S[x1−1,y1−1]


#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];

int main () {
    cin >> n >> m >> q;

    // // 初始化数组
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);

    // 初始化前缀和数组
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            s[i][j] = s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j]; // 求前缀和

    while(q--){
        int x1, y1, x2, y2;

        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;

        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
    }
}

1. 差分算法思想

差分即原数组为前缀和

b1 = a1 ,

b2 = a2 - a1

b3 = a3 - a2 ....

b[n] = a[n] - a[n-1];

这样我们就可以通过 b 来求 a, a2 = b2 + b1;

差分题目

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000,

1≤l≤r≤n,

−1000≤c≤1000,

−1000≤ 整数序列中元素的值 ≤1000

输入样例：

6 3

1 2 2 1 2 1

1 3 1

3 5 1

1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

代码示例

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c) {
    // 这时候相当于a[l] + c, 此时r + 1后面的数也加了c, 需要a[r + 1] - c;
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main () {
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);

    // 初始化差分数组
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        insert(i, i, a[i]);

    while (m--) {
        int l, r, c;

        cin >> l >> r >> c;

        // O(1)的操作
        insert(l, r, c);
    }

    // 通过差分数组b[]来求a[];
    for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] += b[i - 1];

    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << b[i] << ' ';
}

子矩阵操作

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围 1≤n,m≤1000,

1≤q≤100000,

1≤x1≤x2≤n,

1≤y1≤y2≤m,

−1000≤c≤1000,

−1000≤ 矩阵内元素的值 ≤1000 输入样例： 3 4 3

1 2 2 1

3 2 2 1

1 1 1 1

1 1 2 2 1

1 3 2 3 2

3 1 3 4 1 输出样例： 2 3 4 1

4 3 4 1

2 2 2 2

代码示例


#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main () {
    cin >> n >> m >> q;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            scanf("%d", &a[i][j]);

    // 初始化二位差分数组
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);

    // 插入操作
    while (q--) {
        int x1,y1,x2,y2,c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;

        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }

    // 通过b[]求前缀和a[]
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            b[i][j] += b[i][j - 1] + b[i - 1][j] - b[i - 1][j - 1];

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for (int j = 1; j <= m; j ++ ) printf("%d ", b[i][j]);
        puts("");
    }
}